Síntesis: En este proyecto, realizaremos investigacion en tres topicos caracterizados por ser modelos que estudian dependencias fuertes entre varios agentes: la percolacion de ultimo pasaje, los modelos de filas de asignacion en paralelo y los modelos de sistemas que remifican en competencia. Las lineas especificas de investigacion que se desarrollaran durante el proyecto seran:

PERCOLACION BROWNIANA DE ULTIMO PASAJE Probar atractividad del sistema de percolacion Browniana de ultimo pasaje hacia el modelo estacionario. Para el caso de sistemas de filas brownianas, tenemos que O'Connell y Yor probaron la existencia de un Output theorem, mientras que Hambly et.al. desarrollaron el Shape Theorem y resultados de concentracion de medida para el modelo de percolacion Browniana correspondiente. Lopez probo la atractividad del sistema hacia la medida invariante dada por el Output theorem, para un sistema semi-infnito arbitrario pero con condiciones iniciales muy especificas. La construccion de una geodesica infinita, o la construccion de un acoplamiento hacia el pasado implicaria (de forma independiente) el Output theorem y la atractividad hacia la medida invariante, para un sistema ergodico general e infinito. Este resultado seria un resultado analogo a los realizados para modelos discretos por Cator y Pimentel, en distintos trabajos.

ASIGNACION EN REDES EN PARALELO: PROPAGACION DEL CAOS El objetivo de este proyecto consiste en estudiar el comportamiento asintotico en funcion de la cantidad de servidores del modelo de supermercado para el caso donde la politica de servicio es de procesador compartido(PS), y el criterio de despacho es JSQ(d).

Concretamente, consideremos un sistema con N colas paralelas con servidores independientes e identicos con politica de servicio de procesador compartido, y un unico despachador. objetivo principal es probar la siguiente conjetura de Bramson et. al. cuando la politica de servicio es de procesador compartido: "Considere un sistema con esquema de ruteo JSQ(d) estable y una politica de servicio dada. Suponemos ademas que las tareas tienen una distribucion de tiempo de servicio arbitraria con media 1. Entonces existe una unica distribucion de equilibrio cuando el numero de servidores tiende a infinito. En particular, cualquier numero finito de colas son independientes bajo esta distribucion."

RAMIFICACION: TEOREMAS LIMITES PARA RAMIFICACION CON COMPETENCIA El objetivo de este proyecto consiste en utilizar cambios de tiempo de tipo Lamperti para estudiar procesos del tipo Orstein-Uhlenbeck y procesos de ramificación con competencia, y sus límites de escala. Se entenderán mejor las técnicas desarrolladas por Caballero et. al. para describir los procesos de ramificación con inmigración utilizando cambios de tiempos, y estudiar los métodos utilizados para probar teoremas límites de procesos reescalado. El metodo consiste en la generalizacion de tales técnicas para procesos del tipo Orstein-Uhlenbeck y procesos de ramificación con competencia, definidos por Berestycki, Fittipaldi y Fontbona, y obtener así una representación para este tipo de procesos en términos de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias aleatorias. Esta representación permitirá probar teoremas límites para ambos procesos.